One math question rethinking

以下是一道初中生的几何数学题目:

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如图中$\Delta BAC$和$\Delta DBC$是等腰三角形,$AB=AC, BC=BD$,并且其中$\angle BAC + \angle DBC=120^{\circ}$,求$\angle BDA$的角度?

在一次“安全讲座”上一位同仁让我做这个题目,比较直观的辅助线就是通过A做垂直于BD于D’点。这样子就可以通过直角三角形$\angle AD’D$的关系求出这个角度了。

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但是同仁给我列出下面这样子的辅助线,做一个等边三角形$\Delta AC’B$,然后证明三角形$\Delta ABD$和三角形$\Delta C’BC$是全等三角形,求$\angle BDA$变成求$\angle BCC’$的角度。这个方法比较简单和直观求出这个角度的数值。但是可以想象出这样子的辅助线确不是很容易的一件事情,或者说只能是灵机一动的结果,不是可求得的。

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当然对于做题,还有好几种取巧的方法,如果是考试题目,假设这个画图没有问题,可以直接拿角度仪量一下这个角度;当然你也可以带入特殊角度来求解,比如假设$\angle BAC = 90^{\circ}$和$\angle DBC = 30^{\circ}$这样子,然后算数求解。也算一种取巧的方法。

这些方法都可以给出答案,有比较笨拙和比较灵巧的办法,典型的还有“冯 诺依曼的火车苍蝇题”,还有高斯的1加到100的故事。至于启示,就不言而喻了。